量子力學的定律指出資訊應該獲得保存，因此資訊的顯著遺失帶來嚴重難題。其他科學家，包括美國史丹佛大學的色斯金（Leonard Susskind），加州理工學院的普瑞斯基爾（John Preskill）和荷蘭烏特列茲大學的特霍夫特（Gerard 't Hooft），都主張那向外發出的輻射事實上並非隨機凌亂的，而是墜落物質經過加工處理後的型態（見延伸閱讀1）。今年夏天，霍金改變了自己的觀點，轉而支持他們的主張，認為黑洞也會運算。

宇宙會記錄並處理資訊是個一般性原則，黑洞只不過是其中最詭異的例子，該原則本身卻並非什麼新鮮事。在19世紀時，統計力學的肇建者為了解釋熱力學定律，便發展了後來所謂的資訊理論。乍看之下，熱力學與資訊理論是兩個截然不同的世界：一個用來描述蒸氣引擎，另一個則使通訊發揮最大效益。但是在熱力學中限制蒸氣引擎做功效能的物理量──熵，其實與物質分子的位置和速度所記錄的資訊位元數成正比。發明於20世紀的量子力學，賦予此項發現一個牢固的定量基礎，並引入了卓越出眾的量子資訊概念。構成宇宙的位元稱為量子位元（qubit），其性質遠較普通位元更加精采。

以位元和位元組來分析宇宙，並不會取代傳統上以力與能量所做的分析，但它的確發現了令人驚訝的新事實。例如在統計力學的領域中，它解開了關於「馬克士威惡魔」的悖論，那是個似乎能永不停息的永動機。最近幾年，我們與其他物理學家已把同樣的洞見應用在黑洞的本質、時空的精細結構、宇宙暗能量的行為與自然的終極定律等宇宙學和基礎物理問題上。宇宙並不只是個巨大的電腦，它其實是個巨大的量子電腦。正如義大利帕多瓦大學的物理學家歷里（Paola Zizzi）所說的：「一切事物都由量子位元衍生而來。」

當10億赫茲仍嫌太慢時

物理和資訊理論匯流自量子力學中心準則：自然根本是離散而不連續的。用有限數目的位元就可描述一個物理系統。系統中每個粒子的作用類似電腦裡的邏輯閘。粒子的自旋「軸」會指向兩個方向之一，因而記錄一個位元資訊，也可藉由翻轉而執行一個簡單的運算操作。

系統的時間也是離散而不連續的。翻轉一個位元只需最少量的時間。決定實際所需時間的定理，是以兩位資訊處理物理的先驅為名──麻省理工學院的馬枸勒斯（Norman Margolus）與波士頓大學的萊維汀（Lev Levitin）。該定理與海森堡測不準原理有關（海森堡測不準原理是指測量位置與動量，或時間與能量等物理量時，其準確性會有得失平衡），認為翻轉一個位元所需的時間 t，取決於所施加的能量E。施加愈多的能量，所需時間就愈少。此規則以數學表示為t≧h/4E，h是量子理論的主要參數︰普朗克常數。例如，某種實驗性的量子電腦以質子儲存位元，以磁場使它們翻轉。運算的操作會在馬枸勒斯–萊維汀定理所允許的最短時間內完成。

這個定理可以導出大量的結論，涉及範圍從時空幾何的界限，到宇宙整體的運算能力等。我們現在以普通物質運算能力的限制，做為熱身活動。假設有個體積一公升而質量一公斤的物質，我們稱此裝置為終極筆記型電腦。

此電腦的電池就是這個物質本身，依照愛因斯坦的著名公式E＝mc2，將質量直接轉換成能量。若將此能量全部用來翻轉位元，這個電腦每秒可執行1051個運算，速率會隨著能量的降低而減緩。此機器的記憶容量可用熱力學計算出來。當一公斤的物質在一公升的體積內轉化為能量時，溫度將到達絕對溫度10億K。它的熵（與能量除以溫度的值成正比）相當於1031位元的資訊。終極筆記型電腦利用其內部基本粒子的微觀運動與快速變換的位置儲存資訊。每一個被熱力學定律所允許的位元，都派上用場。

每當粒子交互作用時，可能會導致對方翻轉。這個過程可以使用如C或Java等程式語言來想像：粒子就像變數，它們的交互作用則是類似加法的運算。每個位元每秒可翻轉1020次，大約比振盪頻率10億赫茲的時鐘快1000億倍。事實上，此系統實在太快了，根本無法以中央時鐘控制。翻轉一個位元所需的時間，大約等於將訊號由一個位元傳到它鄰近位元的時間。所以，終極筆記型電腦是高度平行化的：它不是以單一處理器運作，而是以廣大的處理器陣列、每個處理器幾乎獨立運作，但結果是在處理器之間的傳輸溝通卻相對較為緩慢。

對照之下，傳統的電腦每秒可翻轉位元109次，儲存1012位元並含有一個處理器。假如摩爾定律可繼續維持下去，你的後代子孫大約可在23世紀來臨前買到這種終極筆記型電腦。工程師必須找到在比太陽核心還熱的電漿中，精確控制粒子交互作用的方法，而且大部份的通訊頻寬將被用來控制電腦以及處理誤差。還有，工程師也必須能解決某些錯綜複雜的套裝問題。

在某種意義上，如果你認識正確的人，你早已能夠買到這種裝置。一公斤大小的物質完全轉化為能量──這正是一顆2000萬噸氫彈的實際定義。一個爆炸中的核子武器可說是正在處理巨量的資訊，它的初始配置就是輸入，而它所散發的輻射就是輸出。

從奈米科技到稀米科技

如果任何物質團塊都是電腦，那麼黑洞就是個被壓縮到最小可能體積的電腦了。當電腦縮小時，其組件間相互施加的重力會變得非常強大，最終將強大到沒有任何實質物體可以逃脫的地步。黑洞的大小稱為史瓦西半徑（Schwarzschild radius），其數值與質量成正比。

一個質量為一公斤的黑洞，半徑約為10-27公尺（質子的半徑為10-15公尺）。將電腦縮小並不會改變它所含的能量，因此它每秒鐘仍舊可執行1051次運算。但是其記憶容量卻改變了。當重力不顯著時，總儲存容量正比於粒子數目，也就正比於體積。但當重力主宰時，它將粒子相互連結，因此總體而言能儲存的資訊較少。黑洞的總儲存容量與其表面積成正比。1970年代，霍金與耶路撒冷希伯來大學的柏肯斯坦（Jacob Bekenstein）計算出，一公斤的黑洞只能儲存約1016位元──比被壓縮前的同型電腦少了許多。

可資彌補的是，黑洞是個超高速處理器。事實上，黑洞翻轉一個位元的時間是10-35秒，相當於把光從該電腦的一端傳到另一端所需的時間。因此，相較於高度平行化的終極筆記型電腦，黑洞可說是個序列電腦。它以單一裝置的方式運作。

那麼，黑洞電腦實際上如何工作呢？輸入不會是個問題：將資料數據以物質或能量的型態編碼，再擲入黑洞即可。只要適當地準備好要擲入的材料，駭客將能夠為黑洞設計程式來執行任何要求的運算。物質一旦進入黑洞，它將永遠消失﹔所謂的事件視界（event horizon）就標示著這個消逝點。快速墜落的粒子相互作用，在抵達黑洞中心奇異點前的有限時間裡進行運算，然後消逝。物質在奇異點被壓扁時發生了什麼事，取決於量子重力理論的細節，這理論目前尚不清楚。

黑洞電腦輸出的是霍金輻射。因為能量守恆的緣故，其質量必定會減少，一公斤的黑洞在發出霍金輻射後，短短的10-21秒內就會消失殆盡。最強輻射所對應的波長等於黑洞的半徑；對於一公斤的黑洞而言，所對應的是極強烈的γ射線。粒子偵測器可捕捉這輻射，將它解碼後供人類使用。

霍金研究這個以他為名的輻射，結果顛覆了黑洞是個沒有任何東西可逃離其力場之物體的傳統認知（見延伸閱讀2）。黑洞的輻射速率與其大小成反比，因此像那些位在星系中心的大黑洞，能量的漏失遠比它們吞噬物質的速率慢。但未來的實驗或許能在粒子加速器中創造出微型黑洞。這些黑洞應會在誕生後不久便立即爆炸，迸發大量輻射。所以黑洞不該被認為是個固定物體，而是個會以最大可能速率進行運算且轉瞬即逝的物質聚合體。

逃脫計畫

真正的問題在於霍金輻射是否提出了運算的答案，或只是一番胡言亂語。此議題仍有爭論，但包括霍金在內的大多數物理學家認為，這輻射是在黑洞形成時墜入其中的資訊，經高度處理後產生。雖然物質無法離開黑洞，但其資訊卻可以。了解這個現象究竟如何造成，是目前物理學界最熱中的問題之一。

美國加州大學聖巴巴拉分校的霍洛維茲（Gary Horowitz）與新澤西州普林斯頓高等研究院的馬多西納（Juan Maldacena）在去年勾勒出一個可能的機制。逃脫的出口在於纏結（entanglement），這是個量子現象，指兩個或多個系統的性質，在橫跨時空範疇時仍會保持相關。纏結使得遠距傳輸（teleportation）成為可能，資訊會從一個粒子忠實地轉移給另一個位在別處的粒子，其效果就像是把粒子從空間中某處傳到另一處，而且此過程最快可以光速進行。

遠距傳輸已在實驗室中驗證。其程序為先把兩個粒子纏結起來，然後一併測量其中的一個粒子與含有準備傳達資訊的物質。這個量測的動作會清除該處的資訊，但因纏結的緣故，不論粒子間的距離有多遙遠，該資訊會以密碼的形式儲存在第二個粒子上。利用測量的結果當做鑰匙，可用以將資訊解碼（見延伸閱讀3）。

類似的程序或許也適用於黑洞。一對纏結的光子在事件視界形成後，其中一個光子向外飛出，成為觀測者所看見的霍金輻射。另一個光子則掉入黑洞，撞擊奇異點與最初構成黑洞的物質。向內墜落的光子，其毀滅的過程就是個測量的動作，會將黑洞內物質的資訊轉移給向外發出的霍金輻射。

與在實驗室中所進行的遠距傳輸不同的是，這個測量的結果不需用來幫遠距傳輸的資訊解碼。霍洛維茲與馬多西納認為，光子毀滅的後果只有一個，並不會有許多其他可能的變化。在外頭的觀測者可使用基本物理來計算此唯一結果，並據以將資訊解碼。這個猜想的確超出了量子力學的一般概念。雖有爭議，卻似乎行得通。正如同宇宙的初始奇異點可能只有一種狀態，所以黑洞內部的最終奇異點也可能只有唯一的狀態。今年6月，羅伊德（作者之一）證明了只要有個最終狀態存在，不論其樣貌為何，霍洛維茲–馬多西納機制都禁得起考驗。但似乎仍有少量資訊會流失。

其他研究者也提出了一些逃脫的機制，它們同樣需要仰賴不可思議的量子現象。在1996年，哈佛大學的斯楚明格（Andrew Strominger）與伐發（Cumrun Vafa）倡議黑洞是由弦論所提出的膜（brane）這種多維度結構所組成的複合體。掉入黑洞的資訊會儲存在膜的波動中，而終究會滲漏出來。在今年稍早的時候，美國俄亥俄州立大學的馬瑟（Samir Mathur）與他的合作夥伴，把黑洞模擬成一團巨大而糾結在一起的弦。這團「毛球」像是所有掉入黑洞物體的資訊儲藏庫，它所發出的輻射反映了那些資訊。在霍金最近的研究中，則主張量子漲落（quantum fluctuation）會阻止事件視界的形成（見2004年11月號〈新聞掃描：霍金願賭服輸〉）。目前，所有這些相關想法都還沒有定論。

電腦化的時空

黑洞的性質與時空的性質糾結纏合，難以釐清。所以如果黑洞可被看做是電腦，那麼時空應該也可以。量子力學預測，時空與其他物理系統一樣，都是離散而不連續的。空間距離與時間間距是無法被度量到無限精準的；在小尺度下，時空看起來像是充滿泡泡的泡沫組織。在一個空間區域中所能輸入資訊的最大量，取決於位元的大小，而它們絕不會比泡沫單元小。

物理學家一向假定這些泡沫單元的大小為普朗克長度（lP， 10-35公尺）；在此距離範圍內，量子漲落與重力效應都很重要。如果真是這樣，時空的泡泡性質就變得太細微而無法被察覺。但是正如本文作者之一吳哲義與美國北卡羅萊納大學教堂山分校的范達姆（Hendrik van Dam），以及匈牙利羅蘭大學的卡羅宜海茲（Frigyes Karolyhazy）的研究顯示，這些泡沫單元其實比想像中大得多，而且沒有固定的大小：時空區域愈大，它的組成單元就愈大。乍聽之下，這個主張似乎是矛盾的──就像是在說構成大象的原子會比構成老鼠的原子還大一樣。事實上，羅伊德已經利用使電腦能力受限的同樣定律導出這個結果了。

繪測時空幾何的過程是一種運算，其中，距離是靠傳遞和處理資訊來測定的。一種方法是，在空間區域中佈滿大量裝有時鐘和無線電發送器的全球定位系統衛星（見下頁〈運算時空〉）。要測量距離時，衛星會送出一個訊號，並計算訊號抵達另一個衛星的時間。這種測量的精確度是由時鐘滴答（ticking）計時的節奏決定的。由於滴答計時是一種運算操作，馬枸勒斯–萊維汀定理限定了它的最大速率：滴答的時間間距與能量成反比。

另一方面，能量也是受到限制的。如果你給衛星太多能量，或是把它們排得太靠近，它們將會形成黑洞而無法再參與測量。（黑洞仍會持續發出霍金輻射，但由於此輻射的波長等於黑洞本身的大小，因此不能用來測量尺度較小的特徵。）整組衛星的最大總能量與所欲繪測區域的半徑成正比。

因此，能量增加的速率小於該區域體積增加的速率。當區域變大時，繪圖人員將面對一個無可迴避的抉擇：降低衛星的分佈密度（增加它們彼此間的距離）或減少每顆衛星所能使用的能量（會使它們的時鐘節奏變慢）。不論用哪一個方式，測量的結果都變得較不精確。用數學式表示，在繪測一個半徑為R的區域所需的時間內，所有衛星的總滴答數是R2/lP2。如果每顆衛星在繪測的過程中都精準地滴答一次，那麼衛星分佈的平均距離便是R1/3lP2/3。在一個分區內，較短的距離仍可測定，但必須犧牲在其他分區內測量的精確度。這個論證同樣適用於空間擴張的情況。

這個式子給定了測量距離時的精確度。它可應用在當測量儀器瀕臨變成黑洞之時。在最小尺度之下，時空幾何將不存在。這樣的精確度遠比普朗克長度大得多，但那仍然非常地小。測量可見宇宙大小的平均不準確度大約是10-15公尺。雖然如此，這麼小的不準確度仍有可能被非常精準的測距儀器所偵測到，例如未來的重力波觀測站。

從理論學家的觀點看來，這項結果的重大意義在於它提供了檢視黑洞的新方法。吳哲義已證明了時空起伏與距離立方根的奇怪比例關係，提供一個方便法門，可以導出關於黑洞記憶容量的柏肯斯坦–霍金公式。它也暗指了黑洞電腦的普適範圍：記憶容量的位元數目與運算速率的平方成正比。該比例常數為Gh/c5──這在數學上證實了資訊與狹義相對論（光速c是其特徵參數）、廣義相對論（重力常數G）和量子力學（h）的關聯。

或許最具意義的是，此結果直接導致全像原理，此原理認為我們的三維宇宙在某個深邃而難以理解的層面上，其實是個二維世界。任何空間區域裡所能儲存的最大資訊量，似乎不是與其體積、而是其表面積成正比（參見2003年9月號〈資訊˙黑洞˙全像宇宙〉）。全像原理通常被認為源自於量子重力中尚未被知曉的細節，但它同時遵循對測量精確度的基礎量子限制。

運算的答案

運算的原理不僅適用於最緻密的電腦（黑洞）和最微小的電腦（時空泡沫），同時也適用於最大的電腦──宇宙。宇宙或許遼遠而無邊際，但至少以它目前的形式，宇宙的年齡是有限的。目前可觀測到的部份，大約橫跨100多億光年。因此，結果為我們所知的運算，必定是發生在這片廣大的蒼穹之內。

上述關於時鐘滴答節奏的分析，也得到自宇宙誕生以來所有可能發生過的運算次數：10123次。此極限可用來與我們周遭物質的行為做比較，也就是可見的物質、暗物質和所謂的暗能量（造成宇宙加速膨脹的成份）。由於觀測到的宇宙能量密度約為每立方公尺10-9焦耳，所以宇宙所含能量為1072焦耳。根據馬枸勒斯–萊維汀定理，宇宙每秒可進行多達10106次運算，也就是說到目前為止總共進行了10123次運算。換言之，宇宙所執行的運算操作已達物理定律所容許的最大可能次數。

為了計算如原子等傳統物質的記憶容量，我們可使用統計力學和宇宙學中的標準方法。物質在轉換成活躍的無質量粒子（例如微中子或光子這類粒子）時，可包含最多的資訊；其熵的密度與其溫度的立方成正比。粒子的能量密度（這個量決定了它們可執行的運算次數）則與其溫度的四次方成正比。因此，總位元數等於總運算次數的3/4次方。對整個宇宙來說，相當於1092個位元。假如粒子還含有某些內在構造的話，位元數目可能還要再高些。這些位元翻轉的速率比彼此間通訊的速率還快，所以傳統物質類似於終極筆記型電腦而非黑洞，是高度平行化的電腦。 至於暗能量，物理學家並不知道它究竟是什麼東西，更別說要如何計算它可儲存的資訊量了。但全像原理暗示了宇宙最多可儲存10123個位元──幾乎與總運算次數相同。這兩個數字的大致相等，絕非偶然。我們的宇宙接近臨界密度。

假如它的密度比臨界密度再高一些，將會導致重力塌縮，就像掉入黑洞的物質一樣。因此宇宙的密度符合（或大致符合）達到最大運算次數所需的條件。這個最大值是R2/lP2，與全像原理所預測的位元數相同。在其歷史中的每一個時期裡，宇宙所擁有的最大位元數目，大致等於它到當時為止已經執行過的總運算次數。

相對於普通物質經過大量的運算操作，暗能量的舉措則大相逕庭。假如它編碼出全像原理所允許最大量的位元數，則絕大多數的位元在宇宙歷史的過程中，只有足夠的時間翻轉一次。所以這些不尋常的位元，應該只能旁觀那些數目少了許多的普通位元進行著高速運算。不管暗能量是什麼，它並沒有執行大量的運算。事實上，它也不需要執行大量運算。因為就運算而言，補償宇宙的失蹤質量並使宇宙加速膨脹，只是個簡單的工作。

宇宙究竟在運算什麼？目前我們所知道的是，宇宙並不像科幻經典《銀河系漫遊指南》中那部巨大的「沉思者」電腦一樣，每次只為一個問題提供單一的答案。相反的，宇宙運算的是它自己。以標準模型為動力來源，宇宙計算量子場、化學物質、細菌、人類、星球和星系。當它運算時，會把自身的時空幾何，以物理定律所允許的極限精確度描繪出來。運算即存在。

這些延伸涵蓋了普通電腦、黑洞、時空泡沫和宇宙學的結果，就是自然統一性的證明。它們顯示了基礎物理觀念內在的連結。雖然物理學家還尚未擁有一套完整的量子重力理論，但不論那是什麼，他們知道那必定與量子資訊緊密地結合在一起。一切事物都是由量子位元衍生而來。

【2004-12-01/科學人/34期/P.42】